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：04-20
数学竞赛训练题三
一、选择题(本题满分36分，每小题6分)
1.设函数 如果 那么 的值等于( )
A.3 B.7 C.-3 D.-7
2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是( )
A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆
3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =( )
A，1 B.-1 C.2+ D.-2+ 4.已知 ，定义 ，则 ( )
A. B. C. D. 5.已知双曲线 的右焦点为F,右准线为 ,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交 于R,则 ( )
A. B.
C. D. 6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，则△ABC( )
A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形
C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形
二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
8.如果：(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}
(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
(3)a是a, b, c, d中的最小数
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
9.设 则关于 的方程 的所有实数解之和为
10.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.
11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。
12.对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
三、解答题(每小题20分，共60分)
13.已知a, b, c∈R+，且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。
14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
15. 数列 定义如下： ，且当 时， 已知 ，求正整数n.
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数学竞赛训练题四答案
一、选择题
1.设函数 如果 那么 的值等于( )
A.3 B.7 C.-3 D.-7
解：取 ，而当 ，所以 ，故选C.
2.已知P为四面体S-ABC的侧面SBC内的一个动点，且点P与顶点S的距离等于点P到底面ABC的距离，那么在侧面SBC内，动点P的轨迹是某曲线的一部分，则该曲线是( )
A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 D.抛物线或椭圆
解：把问题转化成动点P到S的距离与它到边BC的距离比值问题，容易的出答案D
3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =( )
A，1 B.-1 C.2+ D.-2+ 解：xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(αn+ ), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。
4.已知 ，定义 ，则 ( )
A. B. C. D. 解：计算 可知 是最小正周期为6的函数。即得 ，所以 = ，故选C.
5.已知双曲线 的右焦点为F,右准线为 ,一直线交双曲线两支于P、Q两点，交 于R,则 ( )
A. B.
C. D. 解：分别做 由相似三角形的性质，得 ，又有双曲线的第二定义，得 故 平分 所以选C.
6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，则△ABC( )
A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形
C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形
解：由log x=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A= ，而sinA>0，∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。
二、填空题
7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.
答案： 。 由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。
8.如果：(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}
(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a
(3)a是a, b, c, d中的最小数
那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.
答案：46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C =6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成 =16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A =24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。
9.设 则关于 的方程 的所有实数解之和为
答案：4解：令 变形为 可以发现函数 是R上的减函数。又因为 ，从而关于 的方程 的解分别为0、1、3，
10.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.
答案： 。解：①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由 >x(|x|≤1)恒成立，得 , t+1>t2-4, t2-t-s<0解得 ，从而 -t2+4; t2+t-3>0，解得：t< 或t> ，从而
11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 。
解：设直角三角形的三边为a,b, ,则有 =a+b+ , ,两边平方并整理有ab-4a-4b+8=0, (a-4)(b-4)=
8, a,b都是正整数， a=5时b=12;a=6时b=8，所以满足题意的三角形有2个。
12.对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
答案：1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。
下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，
即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0
相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。
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三、解答题：
13.已知a, b, c∈R+，且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。
解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=
4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。
当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。
14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
解：以 为x轴，点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。
15. 数列 定义如下： ，且当 时， 已知 ，求正整数n.
解 由题设易知， .又由 ，可得，当n为偶数时， ;当 是奇数时， .
由 ，所以n为偶数，于是 ，所以， 是奇数.
于是依次可得：
， 是偶数，
， 是奇数，
， 是偶数，
， 是奇数，
， 是偶数，
， 是偶数，
， 是奇数，
， 是偶数，
， 是奇数，
， 是偶数，
，
所以， ，解得，n=238.
15392013720
1209926515
