数学竞赛训练题二

　　一、选择题(本题满分36分，每小题6分)

　　1.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数n是( )

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　2.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式 ( )

　　A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值

　　C.既有最大值又有最小值，两者不等 D.是一个与面QPS无关的常数

　　3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =( )

　　A.1 B.-1 C.2+ D.-2+ 4.已知 =(cos π, sin π), , ，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于( )

　　A.1 B. C.2 D. 5.过椭圆C： 上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)，延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为( )

　　A. B. C. D. 6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，则△ABC( )

　　A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形

　　C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形

　　二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

　　7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.

　　8.如果：(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}

　　(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

　　(3)a是a, b, c, d中的最小数

　　那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

　　9.设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于

　　10.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.

　　11.我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.

　　12.对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

　　三、解答题(每小题20分，共60分)

　　13.已知a, b, c∈R+，且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

　　14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

　　15.已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,

　　(1)当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2 ;

　　(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2 ;

　　(3)当0

 

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　　数学竞赛训练题三答案

　　一、选择题

　　1.由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为- 的等比数列，∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)= =6-6×(- )n，∴|Sn-n-6|=6×( )n< ，得：3n-1>250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C。

　　2.设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则VS-PQR= S△PQR·h= PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d，则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,

　　S△PQR·d= S△PRS·d+ S△PRS·d+ S△PQS·d= PQ·PRsinα+ PS·PRsinα+ PQ·PS·sinα，故有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即 =常数。故选D。

　　3.xn+1= ，令xn=tanαn，∴xn+1=tan(α­n+ ), ∴xn+6=xn, x1=1，x2=2+ , x3=-2- , x4=-1, x5=-2+ , x6=2- , x7=1，……，∴有 。故选A。

　　4.设向量 =(x, y)，则 ，

　　即 ，即 . ∴ 或 ，∴S△AOB= =1。

　　5.设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以 ，所以由定比分点公式，可得： ，代入椭圆方程，得Q点轨迹为 ，所以离心率e= 。故选C。

　　6.由log x=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A= ，而sinA>0，∴sinA= 。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。

　　二、填空题

　　7. 。 由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实根，故△=16(u2-3)≥0。

　　8.46个。abcd中恰有2个不同数字时，能组成C =6个不同的数。abcd中恰有3个不同数字时，能组成 =16个不同数。abcd中恰有4个不同数字时，能组成A =24个不同数，所以符合要求的数共有6+16+24=46个。

　　9. 解考虑M的n+2元子集P={n-l，n，n+1，…，2n}.

　　P中任何4个不同元素之和不小于(n-1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3.

　　将M的元配为n对，Bi=(i，2n+1-i)，1≤i≤n.

　　对M的任一n+3元子集A，必有三对 同属于

　　A(i1、i 2、i 3两两不同).

　　又将M的元配为n-1对，C i (i，2n-i)，1≤i≤n-1.

　　对M的任一n+3元子集A，必有一对 同属于A，

　　这一对 必与 中至少一个无公共元素，这4个元素互不相同，且和为2n+1+2n=4n+1,最小的正整数k=n+3

　　10. 。①若t2-4>0，即t<-2或t>2，则由 >x(|x|≤1)恒成立，得 , t+1>t2-4, t2-t-5<0解得 ，从而 -t2+4; t2+t-3>0，解得：t< 或t> ，从而

　　11.23.。

　　12.1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。

　　下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，

　　即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

　　相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。

　　三、解答题

　　13.解：因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 )2+(2 +2 )2=

　　4ab+8ac+8bc+16c 。所以 ≥ 。

　　当a=b=2c>0时等号成立。故k的最小值为100。

　　14.以 为x轴，点P到 的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= =1+r。所以x=± , ∴tan∠MAN= ，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN= ，所以m+r k =nhr，∴m+(1-nh)r= ，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以 ，由(1)(2)式，得m=0, k=0，由(3)式，得n= 。由2m=h2+k2-3得h=± ，所以tan∠MAN= =h=± 。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°)，故∠MAN=60°。

　　15.(1)证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x- )2+ ，∴f( )= ≤1，∵a>0, b>0, ∴a≤2 。

　　(2)证：(必要性)，对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 -1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1 f(x)≤1，因为b>1，可推出f( )≤1。即a· -≤1，∴a≤2 ，所以b-1≤a≤2 。

　　(充分性)：因b>1, a≥b-1，对任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x

　　≥-1，即：ax-bx2≥-1;因为b>1，a≤2 ，对任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx2≤2 -bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。

　　综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2 。

　　(3)解：因为a>0, 0

　　f(x)=ax-bx2≥-b≥-1，即f(x)≥-1;

　　f(x)≤1 f(1)≤1 a-b≤1，即a≤b+1;

　　a≤b+1 f(x)≤(b+1)x-bx2≤1，即f(x)≤1。

　　所以，当a>0, 0