数学竞赛训练题四

　　一.选择题

　　1.设全集 = ， ， ，则 等于

　　A. B. C. D. 2. 的展开式中，含有 的正整数次幂的项共有

　　A.4项 B.3项 C.2项 D.1项

　　3.高三(10)班甲、乙两位同学6次数学测试的成绩如下表：

	1	2	3	4	5	6
甲	122	120	125	116	120	117
乙	118	125	120	122	115	120

　　　仅从这6次考试成绩来看，甲、乙两位同学数学成绩稳定的情况是

　　A.甲稳定 B.乙稳定 C.甲与乙一样稳定 D.不能确定

　　4.设 为不同的平面， 为不同的直线，则 的一个充分不必要条件是

　　A. B. C. D. 5.在 中，已知 ，则

　　A. . B. .

　　C. D. 6.已知定义在R上的函数 满足下列三个条件：

　　①对任意的x∈R都有 ②对于任意的 ，都有 ③ 的图象关于y轴对称. 则下列结论中，正确的是

　　A. B.

　　C. D. 7.A、B、C、D、E五个人住进编号为1，2，3，4，5的五个房间，每个房间只住一人，则B不住2号房间，且B，C两人要住编号相邻房间的住法种数为

　　A.24 B.36 C.48 D.60

　　8.椭圆 的中心、右焦点、右顶点、右准线与 轴的交点依次为O、F、A、H，则 的最小值为

　　A.2 B.3 C. 4 D.不能确定

　　9.某学校的生物实验室里有一个鱼缸，里面有12条大小差不多的金鱼，8条红色，4条黑色，实验员每次都是随机的从鱼缸中有放回的捞取1条金鱼.若该实验员每周一、二、三3天有课，且每天上、下午各一节，每节课需要捞一条金鱼使用，用过放回.则该实验员在本周有课的这三天中，星期一上、下午所捞到的两条金鱼为同色，且至少有一天捞到不同的颜色金鱼的概率是

　　A. B. C. D. 10.设方程 的两根为 ， ( < )，则

　　A. B. C. D.

　　二、填空题

　　11.在坐标平面上，不等式组 所表示的平面区域的周长为 ▲ .

　　12.已知函数 的图象与直线 的交点中最近的两点间的距离为 ，则函数 的最小正周期等于 ▲

　　13.球O上两点A、B间的球面距离为 ， 有一个内角为 ，则此球的体积是 ▲ .

　　14.已知双曲线的两条渐近线的夹角为 ，则其离心率为 ▲ .

　　15.若直线 始终平分圆 的周长，则 的最小值为 ▲ .

　　16.已知函数 ( )，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-2.1]=-3，[-3]=-3，[2.5]=2.定义 是函数 的值域中的元素个数，数列 的前n项和为 ，则满足 的最大正整数n= ▲ .

　　三、解答题：本大题共5小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　17. 中，角A、B、C所对的边分别为 、 、 ，已知 (1)求 的值; (2)求 的面积。

　　18. 已知 ,点 在 轴上，点 在 轴的正半轴上，点 在直线 上，且满足 ， 。

　　(1)当点 在 轴上移动时，求 点的轨迹 的方程;

　　(2)设 为轨迹 上两点， ， ， ，若存在实数 ，使 ，且 ，求 的值。

　　19.如图，已知正三棱柱 中， ， ，三棱锥 中， ，且 。

　　(1)求证： ;

　　(2)求二面角 的大小;

　　(3)求点 到平面 的距离。

　　20.设函数 ，已知 ，且 (a∈R，且a≠0)，函数 (b∈R，c为正整数)有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。

　　(1)试求a、b的值;

　　(2)若 时，函数 的图象恒在函数 图象的下方，求正整数 的值。

　　21.已知数列{an}满足 ， ， ， 为正数　.

　　(1)若 对 恒成立，求m的取值范围;

　　(2)是否存在 ，使得对任意正整数 都有 ?若存在，求出 的值;若不存在，请说明理由。

 

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　数学竞赛训练题五答案

　　一、选择题：(每小题5分，共50分)

　　题号12345678910

　　答案CBADDABCCD

　　二、填空题：(每小题5分，共30分)

　　11. ; 12. ; 13. ; 14. 2或 ; 15. ; 16. 9.

　　三、解答题：(5大题，共70分)

　　17.(1)由 ，得 ------------3分

　　为锐角， ， -------5分

　　--------------------------6分

　　(2) ---8分

　　又 ， ，得 ， --------------------------10分

　　--------------------------12分

　　(若通过 得出 ，求出 ，

　　未舍去 ， 得两解，扣2分.)

　　18.(1)设点 ，由 得 ， ，

　　由 ，得 ， ------------------------4分

　　即 . ---------------------6分

　　(2)由(1)知 为抛物线 ： 的焦点， 为过焦点 的直线与 的两个交点.

　　①当直线 斜率不存在时，得 ， ， . ---8分

　　②当直线斜率存在且不为0时，设 ，代入 得

　　.设 ，

　　则 ，得 ， ----12分

　　(或 )

　　，此时 ，由 得

　　。 ---------------14分

　　19.解法一：

　　(1)在 中， ， ，

　　∴ ，取 中点 ，

　　， ，

　　在 中， ， ，又 均为锐角，∴ ， ---------------2分

　　，又 外， . ---------------4分

　　(2)∵平面 平面 ，∴ ，过 作 于 ，连结 ，则 ，

　　为二面角 的平面角， ------------------------6分

　　易知 = ，∴ ，

　　二面角 的大小为 . ------------------------9分

　　(其它等价答案给同样的得分)

　　(3) ， 点到平面 的距离，就是 到平面 的距离，-------------------------------11分

　　过 作 于 ，则 ， 的长度即为所求， 由上 (或用等体积 求)----------------------------------14分

　　解法二：

　　如图，建立图示空间直角坐标系.

　　则 ， ， ， ， .

　　(1) (2)利用 ，其中 分别为两个半平面的法向量，

　　或利用 求解.

　　(3)利用 ，其中 为平面 的法向量。

　　20.(1) ，∴ ①

　　又 ，∴ ，即 ②

　　由①②得 ， .又 时，①、②不成立，故 .------2分

　　∴ ，设x1、x2是函数 的两个极值点，则x1、x2是方程 =0的两个根， ，

　　∴x1+x2= ，又∵ A、O、B三点共线， = ，

　　∴ =0，又∵x1≠x2，∴b= x1+x2= ，∴b=0. ----------------6分

　　(2) 时， ， -----------------------7分

　　由 得 ，可知 在 上单调递增，在 上单调递减， . ---------------------9分

　　①由 得 的值为1或2.(∵ 为正整数) -----------------11分

　　② 时，记 在 上切线斜率为2的切点的横坐标为 ，

　　则由 得 ，依题意得 ，

　　得 与 矛盾.

　　(或构造函数 在 上恒正)

　　综上，所求 的值为1或2. -----------------------14分

　　21.(1)∵ 为正数， ①， =1，∴ >0(n∈N*)，……… 1分

　　又 ②，①—②两式相减得 ，

　　∴ 与 同号， ---------------------4分

　　∴ 对n∈N*恒成立的充要条件是 >0. ---------------------7分

　　由 = >0，得 >7　. ---------------------8分

　　(2)证法1：假设存在 ，使得对任意正整数 都有 　.

　　则 ，则 >17　. --------------------9分

　　另一方面， = = ，---------11分

　　∴ ， ，……， ，

　　∴ ，∴ = ， ①

　　--------------------------------14分

　　当m>16时，由①知， ，不可能使 对任意正整数n恒成立，

　　--------------------------------15分

　　∴m≤16，这与 >17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 　.

　　--------------------------------16分

　　(2)证法2：假设存在m，使得对任意正整数n都有 　.

　　则 ，则 >17　. --------------------9分

　　另一方面， ， ------------------11分

　　∴ ， ，……， ，

　　∴ ， ① -----------------14分

　　当m>16时，由①知， ，不可能使 对任意正整数恒成立，

　　--------------------------15分

　　∴m≤16，这与 >17矛盾，故不存在m，使得对任意正整数n都有 　。 -----------------------------16分