同余式和不定方程是数论中古老而富有魅力的内容.考虑数学竞赛的需要,下面介绍有关的基本内容.

　　1.同余式及其应用

　　定义:设a、b、m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为a=b(modm)或a=b(m)一切整数n可以按照某个自然数m作为除数的余数进行分类，即n=pm+r(r=0，1，…，m-1)，恰好m个数类.于是同余的概念可理解为,若对n1、n2，有n1=q1m+r，n2=q2m+r，那么n1、n2

　　对模m的同余，即它们用m除所得的余数相等.

　　利用整数的剩余类表示,可以证明同余式的下述简单性质:

　　2.不定方程

　　不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数;如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.

　　(1)不定方程解的判定

　　如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.