竞赛讲座01

　　-奇数和偶数

　　整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示 ，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.

　　关于奇数和偶数，有下面的性质：

　　(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;

　　(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数;

　　(3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;

　　(4)若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶;

　　(5)n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.

　　以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

　　1.代数式中的奇偶问题

　　例1(第2届“华罗庚金杯”决赛题)下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数?

　　□+□=□， □-□=□，

　　□×□=□ □÷□=□.

　　解 因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

　　例2 (第1届“祖冲之杯”数学邀请赛)已知n是偶数，m是奇数，方程组

　　是整数，那么

　　(A)p、q都是偶数. (B)p、q都是奇数.

　　(C)p是偶数，q是奇数 (D)p是奇数，q是偶数

　　分析 由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选(C)

　　例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数.

　　分析 因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992= =996×1993为偶数 于是题设的代数和应为偶数.

　　2.与整除有关的问题

　　例4(首届“华罗庚金杯”决赛题)70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几?

　　解 设70个数依次为a1,a2,a3据题意有

　　a1=0, 偶

　　a2=1 奇

　　a3=3a2-a1, 奇

　　a4=3a3-a2, 偶

　　a5=3a4-a3, 奇

　　a6=3a5-a4, 奇

　　………………

　　由此可知：

　　当n被3除余1时，an是偶数;

　　当n被3除余0时，或余2时，an是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则

　　a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

　　解 设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22(为什么?).由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.

　　要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.

　　故所求的十位数是9876524130.

　　例6(1990年日本高考数学试题)设a、b是自然数，且有关系式

　　123456789=(11111+a)(11111-b)， ①

　　证明a-b是4的倍数.

　　证明 由①式可知

　　11111(a-b)=ab+4×617 ②

　　∵a>0,b>0,∴a-b>0

　　首先，易知a-b是偶数，否则11111(a-b)是奇数，从而知ab是奇数，进而知a、b都是奇数，可知(11111+a)及(11111-b)都为偶数，这与式①矛盾

　　其次，从a-b是偶数，根据②可知ab是偶数，进而易知a、b皆为偶数，从而ab+4×617是4的倍数，由②知a-b是4的倍数.

 

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　3.图表中奇与偶

　　例7(第10届全俄中学生数学竞赛试题)在3×3的正方格(a)和(b)中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.

　　解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：

　　在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.

　　表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数;但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.

　　显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.

　　例8(第36届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列?(此处无表)

　　解 由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.

　　例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.

　　证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.

　　分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点;

　　不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数. 4.有趣的应用题

　　例 10(第2届“从小爱数学”赛题)图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

　　(1)如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中?

　　(2)某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中?说明理由.

　　解 (1)连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.

　　(2)从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.

　　例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱?

　　分析 设买的贺年片分别为a、b、c、d(张)，用去k张1元的人民币，依题意有

　　10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)

　　即 2a+3b+5c+8d=20k

　　显然b、c有相同的奇偶性.

　　若同为偶数，b-c=10 和a=b=5， 不是整数;

　　若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.

　　例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室(可重复)之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数(重复经过的重复计算)之差总是偶数.

　　证明 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.

　　一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1(重复经过的重复计算)，即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门(包括进出出入口门各1次).设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.

　　例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的个位数，证明A是有理数.

　　证明 为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.

　　而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：

　　A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

　　又a是奇数可取1，3，5，7，9;

　　b是偶数可取0，2，4，6，8.

　　所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.

 

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　练 习

　　1.填空题

　　(1)有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最大数与最小数的积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数，那么这四个数的乘积是______.

　　(2)有五个连续偶数，已知第三个数比第一个数与第五个数和的 多18，这五个偶数之和是____.

　　(3)能否把1993部电话中的每一部与其它5部电话相连结?

　　答____.

　　2.选择题

　　(1)设a、b都是整数，下列命题正确的个数是( )

　　①若a+5b是偶数，则a-3b是偶数;

　　②若a+5b是偶数，则a-3b是奇数;

　　③若a+5b是奇数，则a-3b是奇数;

　　④若a+5b是奇数，则a-3b是偶数.

　　(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

　　(2)若n是大于1的整数，则 的值( ).

　　(A)一定是偶数 (B)必然是非零偶数

　　(C)是偶数但不是2 (D)可以是偶数，也可以是奇数

　　(3)已知关于x的二次三项式ax2+bx+c(a、b、c为整数)，如果当x=0与x=1时，二次三项式的值都是奇数，那么a( )

　　(A)不能确定奇数还是偶数 (B)必然是非零偶数

　　(C)必然是奇数 (D)必然是零

　　3.(1986年宿州竞赛题)试证明11986+91986+81986+61986是一个偶数.

　　4.请用0到9十个不同的数字组成一个能被11整除的最小十位数.

　　5.有n 个整数，共积为n，和为零，求证：数n能被4整除

　　6.在一个凸n边形内，任意给出有限个点，在这些点之间以及这些点与凸n边形顶点之间，用线段连续起来，要使这些线段互不相交，而且把原凸n边形分为只朋角形的小块，试证这种小三我有形的个数与n有相同的奇偶性.

　　7.(1983年福建竞赛题)一个四位数是奇数，它的首位数字泪地其余各位数字，而第二位数字大于其它各位数字，第三位数字等于首末两位数字的和的两倍，求这四位数.

　　8.(1909年匈牙利竞赛题)试证：3n+1能被2或22整除，而不能被2的更高次幂整除.

　　9.(全俄15届中学生数学竞赛题)在1，2，3…，1989之间填上“+”或“-”号，求和式可以得到最小的非负数是多少?

 

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　练习参考答案

　　1.(1)30.(最小两位奇数是11，最大数与最小数同为奇数)

　　(2)180.设第一个偶数为x，则后面四个衣次为x+2，x+4，x+6，x+8.

　　(3)不能.

　　2.B.B.A

　　3.11986是奇数1，91986的个位数字是奇数1，而81986，61986都是偶数，故最后为偶数.

　　4.仿例5 1203465879.

　　5.设a1，a2，…，an满足题设即a1+a2+…+an=0　　①

　　a1·a2……an=n　②。假如n为奇数，由②，所有ai皆为奇数，但奇数个奇数之和为奇数，故这时①不成立，可见n只能为偶数.由于n为偶数，由②知ai中必有一个偶数，由①知ai中必有另一个偶数.于是ai中必有两个偶数，因而由②知n必能被4整除.

　　6.设小三角形的个数为k，则k个小三角形共有3k条边，减去n边形的n条边及重复计算的边数扣共有 (3k+n)条线段，显然只有当k与n有相同的奇偶性时， (3k-n)才是整数.

　　7.设这个四位数是 由于1≤ac，所以b=9因此该数为1983.

　　8.当n为奇数时，考虑(4-1)n+1的展开式;当n为偶数时，考虑(2+1)n+1的展开式.

　　9.除995外，可将1，2，…，1989所有数分为994对：(1，1989)(2，1988)…(994，996)每对数中两个数的奇偶性相同，所以在每对数前无论放置“+”，“-”号，运算结果只能是偶数.而995为奇数，所以数1，2，…，1989的总值是奇数，于是所求的最小非负数不小于1，数1可用下列方式求得：

　　1=1+(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(1986-1987-1988+1989).