整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数.

　　关于奇数和偶数，有下面的性质：

　　(1)奇数不会同时是偶数;两个连续整数中必是一个奇数一个偶数;

　　(2)奇数个奇数和是奇数;偶数个奇数的和是偶数;任意多个偶数的和是偶数;

　　(3)两个奇(偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数;

　　(4)若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶;

　　(5)n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数;顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数.

　　以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜.

　　1.代数式中的奇偶问题

　　例1(第2届"华罗庚金杯"决赛题)下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数?

　　□+□=□，□-□=□，

　　□×□=□□÷□=□.

　　解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数.

　　2.与整除有关的问题

　　例4(首届"华罗庚金杯"决赛题)70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几?

　　解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有

　　a1=0,偶

　　a2=1奇

　　a3=3a2-a1,奇

　　a4=3a3-a2,偶

　　a5=3a4-a3,奇

　　a6=3a5-a4,奇

　　………………

　　由此可知：

　　当n被3除余1时，an是偶数;

　　当n被3除余0时，或余2时，an是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则

　　a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4.

　　解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22(为什么?).由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17.

　　要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0.

　　故所求的十位数是9876524130.

　　3.图表中奇与偶

　　例8(第36届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列?(此处无表)

　　解由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.

　　4.有趣的应用题

　　例12一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室(可重复)之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数(重复经过的重复计算)之差总是偶数.

　　证明给出入口处展览室记"+"号，凡与"+"相邻的展览室记"-"号，凡与"-"号相邻的展览室都记"+"号，如此则相邻两室的"+"、"-"号都不同.

　　一参观者从出入口处的"+"号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的"+"号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从"+"号室起到"+"号室止，中间"-"、"+"号室为n+1(重复经过的重复计算)，即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门(包括进出出入口门各1次).设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.

　　例13有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的个位数，证明A是有理数.

　　证明为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.

　　而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：

　　A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

　　又a是奇数可取1，3，5，7，9;

　　b是偶数可取0，2，4，6，8.

　　所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.